Origine de la notation ker : “noyau” se dit Kern en allemand et kernel en anglais. /BBox [0 0 16 16] Pour l’endomorphisme défini par , on peut déterminer l’image en décomposant selon l’écriture générale des polynômes de tq: . >> endobj Ces espaces sont fondamentaux dans l’étude des propriétés de l’application . Intervenant : Lê Nguyên Hoang, post-doctorant à l'EPFL. /A << /S /GoTo /D (Navigation1) >> /Resources 44 0 R /Rect [305.662 0.996 312.636 10.461] /ProcSet [ /PDF ] 37 0 obj << 3. /FormType 1 Réciproquement, il est évident que les polynômes constants appartiennent Ã. Proposition : Soit . /Subtype /Link Calcul de l'image d'un vecteur par une application linéaire de 3 endobj /Border[0 0 0]/H/N/C[1 0 0] /Subtype /Link /A << /S /GoTo /D (Navigation1) >> 25 0 obj << Voici un corollaire classique et d’usage courant : Si sont des -espaces vectoriels de même dimension finie et si alors : Le théorème rang a été utilisé dans l’exemple 2 de la section 3 et le sera de nouveau dans l’annexe. Soit l’application linéaire :ℝ3→ℝ3 définie par : ( 1, 2, 3)=( 1− 3,2 1+ 2−3 3,− 2+2 3) On note : i) { ⃗ ⃗ ⃗ . EXEMPLE 3. �buDZ���'�̭� 7ijR�߈"cb�H$�e����G��sN��UB�@�ȋZ����~�N+���yh����d�&��j�g^dPdq4�%F�; =�^�4U��,H�R���-؝�>� /A << /S /GoTo /D (Navigation2) >> 1.3 Équations linÉaires et noyau d’une application linÉaire,(. En particulier, n’est pas injectif puisque . /Length 15 /Font << /F18 39 0 R /F16 40 0 R >> On sait qu’on peut définir une application linéaire par ses restrictions à des sev supplémentaires. 18 0 obj << 24 0 obj << endobj Sauriez-vous déterminer le noyau et l’image de l’application linéaire. /Type /Annot Montrons que tout peut s’écrire, de façon unique, sous la forme : Supposons maintenant l’existence d’un vecteur tel que . /A << /S /GoTo /D (Navigation2) >> /Type /Annot Le noyau d'une application linéaire f (noté : Ker(f)) d'un espace vectoriel vers un espace vectoriel ' est l'ensemble des vecteurs de dont l'image est le vecteur nul de '. 27 0 obj << >> endobj /D [9 0 R /XYZ -28.346 0 null] Mais lorsque est de dimension infinie, cette dernière formulation n’a pas de sens ! 26 0 obj << /Resources 36 0 R Concernant le noyau d’une forme linéaire, voir la section 6 plus bas. Dans ce qui suit, on considère un -espace vectoriel ainsi qu’un sev de et l’on définit sur une relation binaire, notée en posant : Si alors la classe d’équivalence de est (par définition) : En particulier, n’est autre que la classe du vecteur nul. >> endobj Il reste à constater que. x���P(�� �� ), moyennant quoi on dispose désormais de l’espace vectoriel (appelé “espace quotient de par “). Est-ce équivalent à la demonstration du cours ? /Subtype /Link Noyau d’une application lin eaire : d e nition D e nition Si f : E !F est une application lin eaire, son noyau, not e Kerf est l’ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := fv 2Ejf(v) = 0g: Exemple Le noyau de la projection p := (x;y;z) 7! On va utiliser la propriété suivante (qui repose sur une simple interversion de sommes) : Soient deux matrices semblables, ce qui signifie qu’il existe vérifiant : Un exemple de fonction numérique définie sur un intervalle et ne possédant aucune primitive. Si alors les espaces et sont isomorphes. En effet, en notant et les vecteurs nuls respectifs de et : l’image de toute combinaison linéaire est la combinaison linéairecorrespondante (ie : avec les mêmes coefficients) des images. Le noyau d’une application linéaire f : E → F est l’ensemble ker(f) = {x ∈ E | f(x)=0}. Construisons donc une forme linéaire en imposant pour tout et, Manifestement, n’est pas la forme linéaire nulle ! Si un tel polynôme possède une racine réelle alors : Par récurrence, on constate que pour tout De ce fait, possède une infinité de racines : c’est le polynôme nul. /Rect [267.264 0.996 274.238 10.461] /Border[0 0 0]/H/N/C[1 0 0] /Type /Annot Il s’ensuit que autrement dit : est surjective. Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée . /Rect [288.954 0.996 295.928 10.461] /Border[0 0 0]/H/N/C[.5 .5 .5] /Type /Annot Soit (E;+;) un espace vectoriel sur R. Définition 1.1. stream /Subtype/Link/A<> L’image et le noyau de sont notés et Ce sont des sev de et de respectivement. Matrices équivalentes et rang. Allez à : Correction exercice 4 Exercice 5. : (∈ ∈: (+)= (⊂. 15 0 obj << >> endobj 13 0 obj << stream endobj /A << /S /GoTo /D (Navigation1) >> Or, d’après ce qui a été dit au paragraphe 3 de la section 5 et vu que la somme est directe : Enfin, si alors il existe tel que puis, en décomposant selon la somme directe, il existe et tels que d’où par linéarité : Et cette dernière égalité peut encore s’écrire La surjectivité de est établie. Voici un autre exemple : On considère un espace vectoriel normé de dimension finie. Cette famille est donc une base de dans laquelle est représenté par une matrice de la forme : Juste après la proposition précédente et dans la preuve de celle-ci, on a implicitement utilisé le fait que deux matrices semblables (en l’occurrence et ont la même trace.Sauriez-vous prouver ceci en toute généralité ? /Rect [317.389 0.996 328.348 10.461] A toute matrice carrée de taille et à termes dans on associe la somme de ses termes diagonaux, appelée trace de et notée. /Type /Annot Pour l’inclusion inverse, donnons-nous et prouvons que Pour cela, on commence par décomposer sous la forme avec et Alors : On appelle équation linéaire toute équation de la forme (et d’inconnue ) où sont deux espaces vectoriels sur un même corps , une application linéaire de dans et un vecteur de . /Type /Annot Ceci se démontre aisément, par récurrence sur le nombre de termes. >> endobj Le rang d'une application linéaire est la dimension de son image. /BBox [0 0 8 8] En effet, une matrice de la forme avec de trace nulle sera évidemment de trace nulle, mais la matrice unité de taille à termes dans le corps est de trace nulle sans être semblable à une matrice de diagonale nulle. /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0 1] /Coords [4.00005 4.00005 0.0 4.00005 4.00005 4.00005] /Function << /FunctionType 2 /Domain [0 1] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [1 1 1] /N 1 >> /Extend [true false] >> >> /Filter /FlateDecode /Border[0 0 0]/H/N/C[.5 .5 .5] endobj En revanche, on dispose de la caractérisation suivante, valable en dimension quelconque : est un hyperplan de si, et seulement s’il existe une forme linéaire sur , non nulle et de noyau . Ceci étant dit : Voici un exemple d’utilisation de ce résultat. Montrer que ℎ est ni injective ni surjective. x���n7��_�>E��#E^�$Ң@b}h��*��@�m������k���\�� �j�3ù;!��v��I�I�y��b�p��f�2��st��rDt�'f(�h�>B����5*>��?� �+�+G�E�+���h4[�6j��F��ȑ̔%�In5����9b�D�t^�G;/����"�VA@6�'0�@�Zk�89K��8Kxr�"��?�t�x-#RId��n+������n7���֩NZ6�؀�@�ԉ�Y/;��+e-\�^�#�����x�eDs�7�-u�����.�6��a���Z����Y����OV���� �*�W%2_�h >r�D}#�B�|O��%��9�p��?��^9{G3lu��l�c�Ʒ���1]����j�{F,��%�*E�rm��`�AS)�u �� PF1� %T~��-���H�)"��o�%ņij�LV����>�bDP4�)3Co���>���I��22}�n�%��!�?s�>g@kI٥#��a�ܳ��Y�`,w���>ބ��*�J��T{}�K�,���g��v��*M�1,=@c�V��*a�R�QO&! En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Noyau et image Application linéaire/Exercices/Noyau et image », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. : =.,,. Représentation d’une application linéaire. \pZ�q�YW��"(H�X�pO���P�f�#2�=x>U,*DcϘI�]������ע&Eh�*@�g�H)�edy�OE��%ɘ�z���F��Ҍ���=�^��zaSG��^�?�7K[�KSH��O��Iݬ��O�f�^MOk��T���[zP'�U�����֐���w&9[ۤߖ��Egx����Քh?����?1�������3�^c�%b�� A)m�W�ϓX�$�ч���0Hc�*3�y(H���Җ�R%�)�'�ʬ����O!W*��'n��鋇���}��i�m��戏9��� �(�5�.|2 �Z�#6���Ӊl�PO?����50&���_��Q:Q�Z�_-2�O�f���V�!Q��i����eF�������90���G���*�A��c�9 -�ǻ�AMu^��{ �ft��C��C���b�KY>�����^�c�B0�ti� 30 0 obj << Proposition 7 Soient et deux espaces vectoriels et une application linéaire de dans . ���g ��;�PK'Ԙ0�m�u�̍�+���:�L+b�@{!7�� ��7�!��� P��܅6�Pe�~_�hj�a� �gh�������N{�a�Un ��]��+� �ܪSJ������9���5 Rappelons qu’une application est dite injective lorsque deux éléments distincts de ont nécessairement des images distinctes par Formulation équivalente et plus maniable : Voir à ce sujet la vidéo : Correspondances, Fonctions, Applications (1). /Border[0 0 0]/H/N/C[.5 .5 .5] DÉTERMINER SI UN ENSEMBLE EST UN SOUS ESPACE VECTORIEL SUR R OU NON Quelques rappels pour commencer. /Rect [230.631 0.996 238.601 10.461] Par exemple, si l'on désire déterminer les fonctions deux fois dérivables f … ���ʡ���م�̧�k��'�{�9��_*VǞ�?/nhݡ�� 3 0 obj /Subtype /Link /Subtype /Form << /pgfprgb [/Pattern /DeviceRGB] >> /Border[0 0 0]/H/N/C[.5 .5 .5] Par conséquent : Mais et jouent des rôles symétriques et l’inégalité inverse est donc aussi vraie. Cette égalité peut s’écrire elle exprime donc le fait que Ainsi et l’injectivité de est établie. Definitions. • Faire des opérations sur les applications linéaires • Déterminer l’image et le noyau d’une application linéaire • Déterminer les valeurs et vecteurs propres d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée • Diagonaliser une matrice carrée ou un endomorphisme. /Subtype /Link Rang et matrices extraites. Avant tout, il faut observer que est évidemment de dimension finie si c’est déjà le cas de Et sinon, on revient à la définition : rappelons qu’un espace vectoriel est dit “de dimension finie” lorsqu’il existe une famille finie et génératrice de Or par hypothèse, il existe une famille finie qui est génératrice de Pour tout il existe tel que et il existe des scalaires tels que : Pour établir la formule du rang, la clef consiste à voir que est la dimension d’un sev supplémentaire de dans Il suffit donc de montrer que est isomorphe à un tel sev. endstream Considérons un -espace vectoriel et un endomorphisme de Par définition, un scalaire est une valeur propre de lorsqu’il existe tel que Un tel vecteur est appelé un vecteur propre associé à la valeur propre L’ensemble des valeurs propres de est une partie de appelée spectre de et notée, Lorsque est valeur propre de l’ensemble est constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à On l’appelle le sous-espace vectoriel propre pour associé Ã, L’étude des “éléments propres” est au cœur de la réduction des endomorphismes, qui est une question centrale en algèbre linéaire.A ce sujet, je vous invite à consulter les vidéos éléments propres d’un endomorphisme et étude spectrale de l’endomorphisme, Noyau d’une restriction – Si et si est un sous-espace vectoriel de on peut s’intéresser à la restriction de à qui est par définition l’application. >> endobj /Subtype /Link /A << /S /GoTo /D (Navigation17) >> /Filter /FlateDecode x���P(�� �� Montrer que ℎ est une application linéaire. /Matrix [1 0 0 1 0 0] /ColorSpace 3 0 R /Pattern 2 0 R /ExtGState 1 0 R Sauriez-vous trouver un exemple d’application ne possédant aucune primitive ? On peut écrire avec et On voit alors que. 33 0 obj << désigne un intervalle non trivial de . ➡ l’image de est l’ensemble des vecteurs de qui sont atteints par ➡ le noyau de est l’ensemble des vecteurs de dont l’image par est nulle. >> endobj 11 Soit , définie par On voit alors facilement que Cet ensemble est en fait un sous-espace vectoriel de dimension 2 de . /ProcSet [ /PDF ] /Rect [300.681 0.996 307.654 10.461] /Rect [295.699 0.996 302.673 10.461] et. 47 0 obj << /A << /S /GoTo /D (Navigation17) >> /Border[0 0 0]/H/N/C[.5 .5 .5] 38 0 obj << /A << /S /GoTo /D (Navigation1) >> >> endobj /XObject << /Fm1 10 0 R /Fm5 14 0 R /Fm6 15 0 R /Fm4 13 0 R >> /Type /Annot Etant donnés deux espaces vectoriels et sur un même corps une application est dite linéaire lorsqu'elle préserve la structure vectorielle, au sens suivant : l'image de la somme de deux vecteurs est égale à la somme des images, l'image du produit d'un scalaire par un vecteur est égale au produit de par l'image du vecteur Noyau et image. Si est une homothétie, disons alors et donc (puisque n’est pas de caractéristique 2). l’image de la somme de deux vecteurs est égale à la somme des images. Noyau d'une application linéaire. On note l’espace vectoriel des applications continues de dans et celui des applications de classe (c’est-à-dire : dérivables et à dérivée continue). On sait que puisque la famille est une base de cet espace. L'ensemble Ker f = { u ∈ E, f (u) = 0 } est un sous-espace vectoriel de E, appelé le noyau de f. L'ensemble Im f = f (E) = { f (u), u ∈ E } est un sous-espace vectoriel de F, appelé l' image de f. C’est l’image de , ii) { ⃗ ⃗ ⃗⃗ . /Subtype /Link Cette vidéo introduit le concept de noyau en algèbre linéaire. /A << /S /GoTo /D (Navigation17) >> Matrice d'une application linéaire Vidéo — partie 4. Ceci prouve qu’une forme linéaire est nécessairement nulle ou surjective. t49>�k�q���� m��,��]f�X��X��Bt����@�ovEmdy���i�����˗��"D� ���. /Type /XObject /FormType 1 >> endobj Si et commute, alors et commutent pour tout et donc et commutent aussi. /Type /XObject /Rect [244.578 0.996 252.549 10.461] Il va donc falloir expliquer un peu de quoi il retourne …. Il n’y a donc pas de demi-mesure : soit tous les scalaires sont atteints par soit 0 est le seul scalaire atteint. /BBox [0 0 5669.291 8] Afin de respecter le contour des programmes de mathématiques des deux premières années d’enseignement supérieur scientifique, le cadre retenu sera celui des espaces vectoriels sur un corps (ce contexte pourrait être élargi à celui des modules sur un anneau commutatif). Et comme ceci vaut pour tout , on peut alors conclure que est surjectif. 23 0 obj << 32 0 obj << >> /Rect [236.608 0.996 246.571 10.461] OPÉRATIONS SUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES Cette partie nous donne également une nouvelle méthode pour montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel :on peut montrer qu'il est le noyau ou l'image d'une application linéaire. Etant donné la condition équivaut à On comprend ainsi que, pour définir un élément de il est nécessaire et suffisant d’en connaître la restriction à un supplémentaire de dans, Une façon de formaliser cette idée consiste à s’intéresser à l’application, Cette définition tient la route puisque, si et sont deux représentants d’une même classe alors et donc. [n;����� ch����`.�=_R��V�8��7�gH׺W����e���,[O[wq83��U�U����j+ױEwti��� 4r�'0���C�fI�!%�� �{���.ӓ��cz��q�&o\������t�����lzq|� /Subtype /Link Réciproquement, supposons injective et soit Alors et donc c’est-à-dire ou encore. On y prouve que le noyau est un espace vectoriel. Noyau et image d’une application linéaire Définitions : Soit . Son noyau est l'ensemble des vecteurs de tels que : c'est la droite vectorielle de engendrée par le vecteur . /Border[0 0 0]/H/N/C[.5 .5 .5] Avant tout, si vous avez besoin d’une petite piqure de rappel au sujet des polynômes d’endomorphismes, je vous suggère de consulter les vidéos Polynômes d’endomorphisme (1) et Polynômes d’endomorphisme (2). >> endobj Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : Sauriez-vous déterminer l’image de ? >> endobj La proposition suivante montre que la somme du rang d’une matrice et de la dimension de son noyau … R. Montrer que le noyau est isomorphe à E 1 \E 2. >> endobj Notons l’espace des applications de classe de dans qui s’annulent en Alors l’application. Supposons l’existence d’une forme linéaire non nulle et de noyau et choisissons . /Length 15 Pour montrer que est injective, il suffit (cf. Si f est une application linéaire de E dans F , alors son noyau , noté Ker( f ) [ 9 ] , et son image , … %PDF-1.4 /ProcSet [ /PDF ] /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Type /Annot >> endobj /Subtype /Link /Subtype /Form La théorie des espaces vectoriels quotients n’est plus enseignée depuis belle-lurette, ni en premier cycle universitaire ni en classes préparatoires. >> Revenons aux formes linéaires, pour dire un mot de la trace d’une matrice carrée. (x;y;0) de R3 sur son plan horizontal est l’axe vertical d … Ceci montre que On a prouvé par double inclusion que, Réciproquement, supposons que et donnons-nous deux vecteurs tels que. 36 0 obj << stream Et lorsqu’on examine une application linéaire, on commence souvent par en chercher le noyau et / ou l’image. /Length 1177 Voici la version formalisée de la double-condition précédente : Tout ceci équivaut à l’unique condition suivante : Par une application linéaire de vers : l’image du vecteur nul de est le vecteur nul de . En effet, si désigne un supplémentaire de dans on sait : Donnons un exemple d’utilisation de ce corollaire. Saisissez votre adresse e-mail et recevez une notification pour chaque nouvel article ! 45 0 obj << 44 0 obj << Autres liens . 2. En conclusion : est l’espace des polynômes constants (qui est une droite vectorielle). Comme est notamment continue en alors : Mais on sait bien que la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en ce qui entraîne la même propriété pour : contradiction ! /Subtype /Link On considère alors l’application : En choisissant pour ensemble de départ l’espace des applications dérivables de dans et, comme ensemble d’arrivée, l’espace de toutes les applications de dans la dérivation serait toujours linéaire, son noyau serait toujours le même (la droite vectorielle constituée des applications constantes) mais elle ne serait pas surjective ! Solution en annexe. /ProcSet [ /PDF ] 8.2 Noyau d’une application linéaire. Et voici un exemple d’utilisation du corollaire énoncé plus haut : Etant donnés un entier et des scalaires tous distincts, l’application, En effet, après avoir constaté la linéarité de on examine son noyau …. /Rect [262.283 0.996 269.257 10.461] /Type /Annot Plus de 6000 vidéos et des dizaines de milliers d'exercices interactifs sont disponibles du niveau primaire au niveau universitaire. /Rect [274.01 0.996 280.984 10.461] %���� Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. Commençons par préciser le vocabulaire. Attention, en caractéristique (avec premier), on n’a plus qu’une inclusion. /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 8.00009] /Coords [0 0.0 0 8.00009] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 8.00009] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [1 1 1] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> ] /Bounds [ 4.00005] /Encode [0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> Comment définir une application linéaire ? /BBox [0 0 362.835 18.597] /Rect [257.302 0.996 264.275 10.461] i) est un sous espace vectoriel de . /Type /Annot Si le corps est de caractéristique nulle, alors le noyau de (qui est, par définition, l’ensemble des matrices de trace nulle) est constitué des matrices semblables à une matrice de diagonale nulle. Il est utile de connaître le lemme suivant : Si est un endomorphisme et si alors le noyau et l’image de sont stables par tout endomorphisme qui commute avec. Ajoutons que l’ensemble des applications linéaires de vers est naturellement muni d’une structure d’espace vectoriel, puisqu’il s’agit d’un sev de l’espace de toutes les applications de vers (linéaires ou non). /Type /Annot De toute évidence : On peut donc appliquer ce qui précède à et conclure que En définitive, si alors est constant. /Border[0 0 0]/H/N/C[.5 .5 .5] /Border[0 0 0]/H/N/C[.5 .5 .5] /Subtype /Form Si f est une application linéaire de E dans F, alors son noyau, noté Ker (f), et son image, notée Im (f), sont définis par : Ker ⁡ ( f ) = { x ∈ E ∣ f ( x ) = 0 } = f − 1 ( { 0 } ) {\displaystyle \operatorname {Ker} (f)=\ {x\in E\mid f … endobj >> endobj Etant donnés deux espaces vectoriels et sur un même corps une application est dite linéaire lorsque l’image d’une combinaison linéaire de vecteurs de est égale la combinaison linéaire de leurs images respectives, avec les mêmes coefficients. Il s’agit de montrer que est un isomorphisme, c’est-à-dire que : La linéarité de ne fait aucun doute, puisque est linéaire ! /Resources 45 0 R Articles détaillés : Noyau d'une application linéaire et Image d'une application. /Rect [352.03 0.996 360.996 10.461] 22 0 obj << /Rect [339.078 0.996 348.045 10.461] En parcourant la deuxième section de l’article Comment définir une application linéaire ? 28 0 obj << x��WKo7���q}U�4z\��r(��@m�x��ڱ�4�/) ��;��č�F��GR�8J\%Wjg�[�(a����B{-A;q�竣=�G�R����݅h�o^ Vous pouvez laisser un commentaire ci-dessous ou bien passer par le formulaire de contact. Si f est une application linéaire d'un espace vectoriel V dans un espace vectoriel W, alors le noyau de f est défini par ⁡ = {∈ ∣ =}. << /S /GoTo /D [9 0 R /Fit ] >> L’image et le noyau de apparaissent alors comme des cas particuliers : Au début de la section 4, on verra ce qu’on peut dire – de manière générale – concernant l’image d’une forme linéaire. Etant donnés deux espaces vectoriels et sur un même corps une application est dite linéaire lorsqu’elle “préserve la structure vectorielle”, au sens suivant : En d’autres termes, une application linéaire est un “morphisme d’espaces vectoriels”. Montrer qu’une application est linéaire ou non 5 4.2. Proposition et définition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f une application linéaire. �U�G�QZL=����$]x�-ҟU���2ɑL�^�34���N{��4B�mVb� ��\j$WyF�ɇQ>N�ٍ �)���lb,�HU�I�XA�S�6H��6����|����F �C��R8���Ru�h�7]dʳ� �b�����q�(�u��ZٕŲkVˮU.�q���9��z0�ע��%����t�瞷�����e��*���1���������IEMj�'5�&-RY��Ga+�k`դ�$�=a|^A�`��Z���E�n4�r7��Kr~M7� Noyau d’une application lin´eaire : d´efinition D´efinition Si f : E → F est une application lin´eaire, son noyau, not´e Kerf est l’ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ∈ E|f(v) = 0}. 14 0 obj << Si alors chacun des scalaires est une racine de dans d’où l’on déduit qu’il existe tel que : C’est maintenant qu’on invoque le corollaire : puisque les espaces vectoriels et sont de même dimension, alors est aussi surjective, d’où la conclusion. /A << /S /GoTo /D (Navigation17) >> Image d'une application linéaire. ,,, = + + − = . /Rect [346.052 0.996 354.022 10.461] 19 0 obj << Soit un -espace vectoriel et soient deux sev de Alors l’application : En effet, supposons que et soit Alors c’est-à-dire Comme est stable par combinaison linéaire, alors Donc et donc Ceci montre que et l’injectivité de est établie. On vérifie en effet qu'il n'est pas vide, et qu'il est stable par addition et multiplication scalaire. >> endobj La matrice est nulle dans ce cas. >> endobj Application linéaire canoniquement associée. /Type /Annot /Rect [326.355 0.996 339.307 10.461]