2 – si au moins un des sous-espaces propres a une dimension inférieure à la multiplicité, la matrice n’est pas diagonalisable. Quelques applications de la diagonalisation 1. E − 0 Nous avons alors 3 solutions : Si on prend comme matrice P les vecteurs X, Y et Z dans cet ordre, la matrice D sera la matrice diagonale 1, 2 et – 4 dans cet ordre. — Par exemple : (λ – 4)2(λ – 6)3(λ + 7) est scindé. } de diagonalisation d’une matrice carr ee Ma coe cients r eels qui sont dans le cours et qu’il faut conna^ tre. Pour ne pas t’embrouiller la tête nous ne ferons pas d’abréviation dans la suite du cours x − Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre. ATTENTION il faut que les coefficients de la matrice soient réels !!! 3 . Laissez des cellules vides pour entrer dans une matrice non carrées. = Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice. Un vecteur propre est un vecteur colonne, il est souvent noté X. —. En regroupant un vecteur propre de chaque valeur propre, on obtient une base qui permet de former la matrice P. Dans le même ordre que celui des vecteurs propres pour la matrice P ! Nous presentons deux applications imm´ ediates de la diagonalisation des matrices avec le´ calcul des puissances d’une matrice diagonalisable et la r´esolution des syst emes diff` ´erentiels lineaires d´ efinis par une matrice diagonalisable. 3 ) —, Le spectre d’une matrice M est noté Sp(M). C’est une condition su sante mais pas n ecessaire; en e et, la r eciproque (qui serait \si la matrice est diagonalisable alors elle Attention qu’ici un sous-espace propre ne peut être de dimension 3 car l’autre étant au moins égal à 1, la somme serait au moins de 4, ce qui contredit une propriété vue précédemment (la somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure ou égale à n). Soit M une matrice symetrique réelle. - V – LA DIAGONALISATION D'UNE MATRICE DIAGONALISABLE - -1) Pratique de la diagonalisation - - Rappels : Un polynôme est " scindé " s'il peut se factoriser entièrement en produit de polynômes du premier degré . Si a est une racine d’un polynôme, on peut factoriser ce polynôme par (x – a). 2 1 0 v Cependant : Si une famille Post by "Romain M." @ifrance.com> je connais une preuve différente, ca t'intéresse peut etre quand même. = 0 —. i — Si oui, la diagonaliser. 2 Le cours se divise donc en 2 grandes parties : - Montrer qu'un endormorphisme ou qu'une matrice est diagonalisable - Diagonaliser effectivement cet endormorphisme ou cette matrice Pour cela nous déterminons les valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres aussi appelés éléments propres. A est diagonalisable sur ⇔ son polynôme caractéristique est scindé sur et pour chaque valeur propre λ de A, m(λ) = dim(Eλ). Diagonalisation des matrices Enonc´es´ Enonc´es des exercices´ Exercice 1 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 Exercice 2 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = 0 −2 0 1 0 −1 0 2 0 dans R si possible, sinon dans C. ( Maintenant, il ne reste plus qu’à savoir comment calculer la dimension des sous-espaces propres et en trouver une base ! Pour diagonaliser A = 5 −3 6 −4 , on fabrique d’abord deux nouvelles matrices A−2Id et A−(−1)Id et on détermine pour chacune d’elles une base du noyau (ces deux valeurs 2,−1 sont les racines de l’équation det(A−λId)=0 ) : diagonaliser A 5 −3 6 −4 det(A−λId)=0 λ = 2 ւ ց−1. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. Si la multiplicité est supérieure à 1 : il faut calculer la dimension du sous-espace propre : +1) ). Ces trois étapes forment la méthode générale pour diagonaliser une matrice, mais il existe des cas particuliers plus rapides permettant de savoir si une matrice est diagonalisable ou non et qu’il faut impérativement connaître ! – le sous-espace propre de 4 est de dimension 2 et celui de 9 de dimension 1 : la somme des dimensions est donc 3 : la matrice M est diagonalisable. Une première conséquence est que si l’on a n valeurs propres distinctes, on aura n vecteurs propres distincts libres qui formeront une base et constitueront la matrice P, et M sera alors diagonalisable ! (X ≠ 0) i T – soit le polynôme caractéristique est scindé, et alors la matrice PEUT être diagonalisable, mais pas forcément. Exercice 01 : diagonalisation d’une matrice 1. On calcule le polynôme caractéristique : Un rapide calcul (tu peux t’entraîner à le faire) montrerait que les racines du polynôme sont -1 et 3, donc les valeurs propres de A sont -1 et 3 ! M – λ Id correspond à la matrice M avec des – λ sur la diagonale. 0 0 E Comme dim(E4) = 2, une base de E4 sera composée de 2 vecteur libres. Si tu veux bien me donner une adresse perso où te l'envoyer, je le ferai bien volontiers. On nous dit que les valeurs propres sont 4 et 9. Par exemple sur l'espace ℒ(H) des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H sur K = ℝ ou ℂ, la symétrie qui à chaque opérateur associe son adjoint est toujours ℝ-linéaire, et diagonalisable en tant que telle : les opérateurs hermitiens et antihermitiens forment deux sous-espaces vectoriels réels supplémentaires (topologiques). 3ème cas particulier : Certains ont déjà été évoqués précédemment mais il a paru bon de les rappeler afin de te faire une idée précise de ces différents cas particuliers qui se retrouvent très souvent en exercice !! En résolvant les systèmes qui permettent de déterminer les sous-espaces propres (on sait d'avance qu'ils sont de dimension ) on trouve que : avec . avec . Nous abordons dans ce chapitre les probl`emes de trigonalisation et diagonalisation des ma- trices. Comme tu le vois, trouver la dimension d’un sous-espace propre revient à résoudre un système. On a bien : 1 I Appliquer la condition nécessaire et suffisante de diagonalisation. Donc kX est un vecteur propre associé à la valeur propre λ ! ⁡ PSI Dupuy de Lôme – Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. On peut interpréter simplement la trace d'une matrice à l'aide de ses valeurs propres. —Diagonalisation en dimension trois Exercice 2.1. 1 11 4.3. Si une matrice A a autant de valeurs propres que la dimension de l’espace, alors A est diagonalisable. i Puissance d’une matrice semblable. —. Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. − Oui mais comment choisir le vecteur propre associée à une valeur propre ? Afin de ne pas confondre, vecteur propre est noté VP (avec un V majuscule) car les vecteurs colonnes sont généralement notés avec une lettre majuscule comme X, tandis que valeur propre est noté vP (avec un v minuscule) car les scalaires sont généralement notés en minuscule comme λ. − —. Diagonalisation : exercices BCPST 2 13/14 Exercice 1 On consid ere les matrices Aet Psuivantes : A= 0 @ 11 5 5 5 3 3 5 3 3 1 A et P= 0 @ 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 A: 1) D emontrer que Pest inversible et d eterminer P 1. Enfin, on pourrait démontrer de manière assez simple (entraîne-toi à le faire) que la somme des multiplicités des racines d’un polynôme scindé est égale au degré du polynôme : — On a donc MX = λ1X et MX = λ2X Nous reprenons pas à pas les notions du chapitre « Valeurs propres, vecteurs propres », mais du point de vue plus théorique des applications linéaires. On rappelle qu’un sous-espace propre d’une valeur propre λ est noté Eλ et est l’ensemble constitué des vecteurs propres d’une valeur propre ainsi que du vecteur nul. = La diagonalisation de matrice consiste à l'écrire dans une base ou ses éléments hors de la diagonale sont nuls. 6 est racine triple (autrement dit 6 est racine de multiplicité 3 : m(6) = 3) ( En réalité, c’est plus la contraposée qui est intéressante ici : — Ce sera une matrice diagonale dont la diagonale sera constituée des valeurs propres de M. Oui mais dans quel ordre ? La diagonalisation d'un endomorphisme permet un calcul rapide et simple de ses puissances et de son exponentielle, ce qui permet d'exprimer numériquement certains systèmes dynamiques linéaires, obtenus par itération ou par des équations différentielles. En mathématiques, la diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire qui permet de simplifier la description de certains endomorphismes d'un espace vectoriel, en particulier de certaines matrices carrées. —. Voyons maintenant comment calculer les valeurs propres et les vecteurs propres associés. On détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 : . 1 Densité des matrices diagonalisables dans ℳ, Valeur propre, vecteur propre et espace propre, Palette incluant la multiplication des matrices, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Diagonalisation&oldid=172107839, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, Il est aussi possible de déterminer directement les valeurs propres, et des bases des sous-espaces propres associés. {\displaystyle u_{i}} (voir le calcul d'un déterminant), Calcul de E2 : 1 = Exercice 01 : diagonalisation d’une matrice 1. = — { Une fois les racines trouvées, on peut alors calculer les dimensions des sous-espaces propres et vérifier que la somme est égale à la dimension de l’espace (ou pas). − Récapitulatif des cas particuliers Valeurs propres d’une matrice sym etrique r eelle. 0 ) {\displaystyle u_{i}} X est un vecteur propre de M si X ≠ 0 et s’il existe un réel λ tel que MX = λX. avec . 1 Mais on a vu précédemment qu’il y a plusieurs vecteurs propres (tous ceux proportionnels à un vecteur propre). Cet outil vous permettra de diagonaliser une matrice carrée tout en calculant la matrice de passage et son inverse. et 1 - 5 - Remarques : • la matrice P (ou la nouvelle base de 3) permettant de trigonaliser A n’est pas unique, • dans les deux derniers exemples, si la matrice A admet pour valeur propre triple la valeur α, la matrice T semblable à A sera égale à celle proposée, mais en changeant ses coefficients On peut écrire : où et . Ce polynôme, dont la variable est λ, est noté χM(λ) (χ est la lettre grecque chi), et est défini par. 0 Si une matrice A est symétrique et réelle, alors elle est diagonalisable. 1 Exemple : A est une matrice 4 x 4 et det(A – λ Id) = 4(λ – 2)(λ – 7)(λ + 9)(λ – 12) Espace propre associ e a une valeur propre 13 … Les vecteurs des bases de ces sous-espaces sont bien évidemment des vecteurs propres (puisqu’ils appartiennent au sous-espace propre). … En fait, M est la représentation matricielle d’un endomorphisme dans une base E, et D la représentation de ce même endomorphisme dans une base F. P est donc la matrice de passage de E dans F (voir le chapitre sur les matrices de passage pour plus de précisions). Ce procédé se ramène donc à une réduction maximale de l'endomorphisme, c'est-à-dire à une décomposition de l'espace vectoriel en une somme directe de droites vectorielles stables par l'endomorphisme. x T —, Cela peut parfois servir dans les exercices…. {\displaystyle U={\begin{pmatrix}3&1&1\\2&0&-1\\0&-2&0\end{pmatrix}}.}. —. 5. Soit M 2M n(K) une matrice carr ee a coef- cients dans K, K = R ou C. Une matrice M4 est semblable a M s’il existe une matrice inversible Pd’ordre ntelle que M0= P 1MP: Proposition 1. De même, chaque sous-espace propre ne peut être de dimension 2 pour les mêmes raisons (la somme des dimensions ferait 4). Exemple : A est une matrice 4 x 4 et : A est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 1, 5, 8 et 7 : A possède 4 valeurs propres et est une matrice d’un espace de dimension 4, donc A est diagonalisable. ( 0 Initialisation d'une matrice rectangulaire [modifier | modifier le wikicode] Les matrices sont créées à partir d'un vecteur : les valeurs sont prises une par une pour remplir le tableau, colonne par colonne. 2. )